林燃讲完之后，在座做数论的专家们已经集体起来鼓掌了。
其他博士生或者其他细分领域的数学教授不太了解，也跟着礼貌鼓掌。
一时间，在座记者们摸不着头脑。
等到他们的掌声平息后，才找到身边一个站起来的教授低声问道：
“我想问下，这个很厉害吗？”
“非常厉害，教授又为解析数论找到了一块基石，他今天讲的这两个结果，不仅仅能够用在孪生素数猜想上，还能用在其他数论问题上。
教授不但找到了模数，还把模数范围进行了扩张，模数范围的增加直接增强了筛法和分布分析的能力。
而他在里面用到的双线性模式和分散化技术，更是给我们做解析数论和筛法提供了新工具。
总之这已经是很牛逼的成果了。
一般的数学家靠这个就能拿菲尔兹了，光是有这个结果来一趟哥廷根就值了。”
恩里科·邦别里正是靠这个成果拿的1974年的菲尔兹，他把模数范围从1/2扩展到4/7，对标准定理做重大改进都要到1987。
相当于林燃现在的内容至少也够两个菲尔兹。
然而这仅仅只是开始。
在座的数学家，但凡做数论的，感觉都要高潮了。
“好，各位我们现在把模数推进到了七分之四，抱歉，时间紧张，所以我就不做讨论了。
大家有疑惑可以先记下来，我尽量答疑，如果这次没时间，我回纽约的时候在哥伦比亚大学再做答疑。”
台下福克斯高声喊道：“好，没问题，教授，你继续吧。”
多伊林已经无语了，你叫什么劲啊，这又不是你们的主场，阿美莉卡人都这么令人讨厌吗！
不过考虑到这是前所未有的场合和时间，他没有发飙。
“我们现在要继续推进了。”
林燃在黑板上写了一个新的公式：
这个公式在60年后，叫Elliott-Halberstam猜想，EH猜想由Elliott和Halberstam在1968年提出，发表在《SymposiaMathematica》上，直到2025年该猜想都没有被证明。
这么说吧，这个猜想被证明的话，意味着素数在模数≤1的算术级数中的分布误差可以被有效控制，远超标准定理的二分之一。
孪生素数的K=246，能够迅速被推进到K=6，几乎离孪生素数猜想需要的K=2，只有一步之遥了。
像NathalieDebouzy在2019年的成果，就通过改进渐进筛法，假设EH猜想成立的话，存在无穷多几乎孪生素数，什么叫几乎孪生素数，意思是p为素数，p-2为素数或半素数。
EH猜想是如此重要，后世的数学家们甚至都已经开始假设它成立了。
也就是说，林燃现在无法再依赖后人智慧，得完全靠自己把EH猜想先给干掉。
甚至可以这么说，EH猜想是模数无限接近于1的猜想，而如果要把EH猜想再往前推，也就是直接就是1，这需要全新的数学框架。
因此进入到这个环节之后，林燃的速度明显慢了下来。
因为更要命的在于，林燃没有办法直接用六十年后现成的定理或者引理，所有六十年后要用的工具都得现场在哥廷根大学的大会堂里重新造一遍轮子。
“双线性形式与分散化，不行，这个最多推进到七分之四。”
“TypeII估计，靠短区间分布控制和平滑模数优化，也不行，它还是推不到这个程度。”
“L函数零点关系会是条路。
EH猜想涉及平均模数q的误差项，而每个q对应一个Dirichlet字符χ(modq)，其L函数的零点影响分布。
Bombieri-Vinogradov定理的证明依赖零点密度估计，控制L函数在Re(s)≈1附近零点的数量。
EH猜想需要更强的零点控制，这就涉及零点在临界带内的分布规律。然后再借助GRH的间接支持.”
林燃在黑板上写了又擦，擦了又写。
在座的学者们都很清楚，这个问题很重要。
光是这个猜想本身就已经足够有价值了。
一直持续到晚上十一点，林燃开始加快粉笔书写的节奏，片刻没有停顿。
旁边负责帮他换黑板的学生都换了两茬。
他一点没有停顿的写满了整整三十张黑板。
台下坐着的教授也就那么二十来个人，地上用睡袋席地倒下的人还更多。
随着粉笔摩擦黑板的声音越来越明显，越来越快，醒着的把睡着的叫起来。
大家注意着黑板上的内容。
“这是？”
“没错，伦道夫找到出路了。”
“我们确实是在见证历史，孪生素数猜想只是最后的目的地，我们现在在欣赏前往目的地沿途的风景。”
“我刚睡过去了，伦道夫选择的是哪条路？”
“我想应该是将描述zeta函数零点的差分分布，扩展到DirichletL函数，去影响算术级数的平均行为。若零点分布符合随机矩阵模型，那么就意味着能支持他的猜想的误差控制。”
“这是个思路，但是否可行还得看他的具体设计了。”
林燃写完后，看着眼前的成果，有一种由衷的成就感：
“好了，今天就到这里为止了。
大家可以看一下，我已经要困得不行了。
当前结果深化了我们对素数分布的理解，为孪生素数猜想的证明造出了前置工具。
它的突破性在于超越了过往模数的限制。
最后这个猜想的证明过程，我分析了DirichletL函数的非平凡零点分布。
通过假设零点在临界带内足够稀疏，估计了误差项的平均行为。然后设计一种新型筛法，结合双线性形式估计和分散化技术，优化了模数分解，突破传统方法的瓶颈。
最后通过一个新引理，控制高维指数和，确保误差项满足猜想要求。”
林燃最后在黑板上做了一些注释。
“大家，我先去睡了，预计六个小时之后继续。”
林燃没有离开，直接去大礼堂边上的小房间休息。
台下教授和博士们都已经挤到前面来，看黑板上的内容。
今天一整天，林燃一共写了整整三十块黑板。
邦别里-维诺格拉多夫定理和邦别里-维诺格拉多夫定理的增强形式容易理解。
而且本身普林斯顿就已经做出了邦别里-维诺格拉多夫定理，所以他们对邦别里-维诺格拉多夫定理和其增强形式都理解的很快。
到了EH猜想。
因为此时EH猜想本身都还没有，林燃相当于从猜想提出到证明，自己一手包办了。
“太美了，简直就是艺术品。”
“这是超级增强的成果。”
“这里有简化空间吗？”
“不是，零点密度估计、配对相关猜想可能能够把教授关于这一猜想的证明进行简化，不过我们还得好好想想。”
“关于控制高维指数和，来确保误差项能够满足猜想要求的角度太过于巧妙了。”
“不行，我得赶紧回去把今天的成果发给还在学校的同行。”
数学论文用电报不太现实。
理论上，可以将数学论文简化为纯文本，编码为ASCII或Baudot字符，分段通过电传发送，实际上非常难精准表达。
现在一般用传真机扫描论文，直接把图传过去。
由于传真成本太高，即便哥廷根作为大学城，也就只有那么寥寥数台传真机器。
但架不住林燃今天的结果非常惊人，无论是结果本身，还是用到的方法，都让做数论的学者们心潮澎湃，想要第一时间分享给本校同僚，以及喊他们赶紧来哥廷根见证奇迹。
休假？这种时候还休什么假，来哥廷根现场见证奇迹才是最重要的。
即便是深夜，但在座的学者们，无论刚才是否有休息，现在都变得精神百倍。
考虑到林燃已经进旁边的休息室休息了，他们压低声音在讨论今天的成果。
“不管怎么说，光是前面能够把模数推进到这个程度，这已经是非常了不起的成果了。”
“了不起？起码也是本世纪数论领域最重要的成果之一。”多伊林纠正道。
“西格尔教授，不不不，还没到最终下结论的时候，还有五天时间，从今天的成果来看，伦道夫未必不能把孪生素数猜想给完成。
某种意义上来说，孪生素数猜想是堪比哥德巴赫猜想的结果了。
如果他能够完成的话，那么这毫无疑问就是本世纪数论最重要的成果，我们可以把之一去了。
除非本世纪剩下的三十五年时间里，有人能够完成哥德巴赫猜想的证明。”来自法兰西的顶级数学家让·皮埃尔说道（27岁拿下菲尔兹，集数学三大奖于一身）。
他过去一直做的是交换代数和代数拓扑，在最近这十多年时间里转而和格罗滕迪克合作，做代数几何。
他接着说道：“我过去对数论想的太简单，有太多分析上的工具可以应用在数论领域。
我想我们现在做数论的数学家们对分析的掌握和伦道夫差的太远了。”
西格尔苦笑道：“我们不能拿伦道夫作为标准去要求年轻的学生们，这未免有点太过分了。”
皮埃尔摇头道：“不，我不是说要拿伦道夫在分析上的扎实功底去要求年轻的博士，而是我们对年轻学者们的培养，不能说他做的课题是数论，就放松对其分析能力的要求。
做数论的，分析能力应该要和做分析的博士相仿，做分析的博士对代数的了解要和做代数的博士相仿才对，自从伦道夫提出了伦道夫纲领之后，我们愈发认识到不同细分数学领域之间本质上有着非常紧密的联系。
我们应该要推动年轻学者们任何一门都不能放松，我们得培养全能学者。”
西格尔说：“你打算回巴黎高师之后推动按照这个标准要求巴黎高校的数学系学生们？
这不又是往回走了吗？”
西格尔这里说的往回走是指，早期大家都培养全能数学博士，后来随着现代数学越来越抽象，人的精力有限，所以不再要求学生们全精，因为一般人做不到这点。
“没错，试试吧，至少得按照这个标准去要求最有天赋的
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